基于弧齒錐齒輪齒面數(shù)學(xué)模型，引入高階滾比修正系數(shù)，采用矢量運(yùn)算與二元迭代的方法，對齒面進(jìn)行了離散化處理，計算了各離散點(diǎn)的齒形偏差。分析了各階滾比修正系數(shù)的改變對弧齒錐齒輪齒面形狀的影響規(guī)律，繪制了齒面誤差拓?fù)鋱D，表示了誤差齒面相對于理論齒面的偏離方向以及誤差值的大小。基于齒面誤差的模型，采用最小二乘法，計算了弧齒錐齒輪齒面在各階滾比修正系數(shù)改變下的敏感系數(shù)，分析了各階滾比修正系數(shù)對齒面形狀的影響類型和程度，為弧齒錐齒輪實(shí)際加工過程中齒面幾何形狀的調(diào)整和齒形誤差的修正提供了理論依據(jù)。通過實(shí)際的磨齒加工和測量，驗(yàn)證了齒面數(shù)學(xué)模型與齒面誤差拓?fù)鋱D結(jié)果的正確性。

　　弧齒錐齒輪是現(xiàn)代機(jī)械傳動領(lǐng)域中的關(guān)鍵零件，在弧齒錐齒輪制造過程中，因機(jī)床誤差、熱變形等不可控因素，使輪齒的實(shí)際齒面偏離理論齒面，也使得基于理論齒面進(jìn)行的 TCA(齒面接觸分析)、LTCA(加載齒面接觸分析)的分析結(jié)果失去意義。為了調(diào)整齒面形狀，消除齒面偏差帶來的影響，傳統(tǒng)上使用比例修正的方法，這種方法對于操作人員的經(jīng)驗(yàn)要求較高?，F(xiàn)在多使用齒輪測量中心來獲取齒面偏差，通過對加工參數(shù)的修正來實(shí)現(xiàn)對齒面幾何精度的控制。

　　針對齒面形狀控制的研究，李麗霞研究了機(jī)床調(diào)整誤差對弧齒錐齒輪齒面幾何精度的影響規(guī)律，建立了機(jī)床調(diào)整誤差補(bǔ)償?shù)臄?shù)學(xué)模型;曹康對螺旋錐齒輪機(jī)床調(diào)整參數(shù)的誤差敏感性和齒面誤差反調(diào)修正進(jìn)行了研究;王志永針對機(jī)床誤差對螺旋錐齒輪齒形的影響規(guī)律進(jìn)行了研究，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了分析結(jié)果的正確性;田程等通過結(jié)合機(jī)床調(diào)整參數(shù)的敏感度系數(shù)向量與實(shí)際測量齒面誤差向量的相關(guān)性，對齒面誤差進(jìn)行了優(yōu)化。聶少武等通過用二階曲面近似表達(dá)齒面拓?fù)淦?，將齒面拓?fù)湫扌畏纸獬?5 個方向，并建立了對應(yīng)的修正數(shù)學(xué)模型，反求出了修形齒面的小輪加工參數(shù);李天興等分析了齒輪齒面齒形誤差及其影響因素，建立了機(jī)床參數(shù)與齒面齒形誤差的對應(yīng)關(guān)系。李其明等在機(jī)床調(diào)整參數(shù)靈敏度分析的基礎(chǔ)上，對齒形誤差修正方法進(jìn)行了研究，分析了機(jī)床調(diào)整參數(shù)對齒形誤差的影響。張宇研究了螺旋運(yùn)動及刀具參數(shù)對雙重螺旋法加工齒面特征的影響規(guī)律;宋碧蕓等人基于齒面幾何誤差控制模型對加工參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析，利用改進(jìn)的 L-M 方法求出了加工參數(shù)補(bǔ)償量。張彤研究了變性法和刀傾法小輪的各項機(jī)床加工參數(shù)誤差對齒形誤差的影響規(guī)律。

　　目前國內(nèi)企業(yè)研制的數(shù)控弧齒錐齒輪加工機(jī)床都具備高階運(yùn)動功能，包括滾比修正、螺旋運(yùn)動修正、垂直運(yùn)動修正等。但因缺少成套的計算軟件，在實(shí)際切齒計算時最多用到三階滾比修正系數(shù)，不能發(fā)揮出數(shù)控機(jī)床的萬能運(yùn)動特性。同時，在對輪齒齒面形狀進(jìn)行調(diào)整時，雖然利用齒輪測量中心測量出了輪齒的齒面偏差，但是并不清楚高階滾比修正系數(shù)對齒面拓?fù)湫螤畹挠绊懸?guī)律?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中均未對高階滾比修正系數(shù)對弧齒錐齒輪齒面形狀的影響進(jìn)行深入研究。

　　論文針對上述情況，構(gòu)建包含高階滾比修正系數(shù)的齒面數(shù)學(xué)模型，探究高階滾比修正系數(shù)對弧齒錐齒輪齒面形狀的影響規(guī)律，為弧齒錐齒輪實(shí)際加工過程中的齒面調(diào)整提供理論依據(jù)。

　　一、齒面數(shù)學(xué)建模

　　基于齒輪嚙合原理和矢量運(yùn)算方法，根據(jù)刀具和齒坯的相對運(yùn)動和相對位置關(guān)系，建立齒面數(shù)學(xué)模型。以左旋齒輪為例，左旋齒輪在機(jī)床調(diào)整位置時的情況如圖 1 所示。

　　在坐標(biāo)系 σ = {O;i;j;k｝中，O 是機(jī)床的中心，i、 j、k 分別為坐標(biāo)軸正方向的單位矢量。i - j 平面是機(jī)床平面，k 的正方向指向搖臺體內(nèi)。O_c 為刀尖平面與刀盤軸線的交點(diǎn)，O₁ 為設(shè)計時的交叉點(diǎn)。b 為刀盤軸線在機(jī)床平面內(nèi)的投影。c 為刀盤軸線的單位矢量。E_m 為垂直輪位，S 為徑向刀位，q 為角向刀位，矢量 p 為工件的軸線，X_B 為床位，X_p 為水平輪位修正量，δ_M 為輪坯安裝角。這些參數(shù)可以通過弧齒錐齒輪加工計算軟件計算得到，或者由機(jī)床的實(shí)際加工調(diào)整參數(shù)得到。

　　刀具切削刃由兩部分組成，其中直線段切削刃生成輪齒的工作齒面，圓弧部分生成輪齒的齒根過渡圓角部分，因測量齒形偏差時設(shè)置了收縮量，齒根過渡圓角部分一般都不在檢測范圍內(nèi)，以下只考慮直線段切削刃及其生成的工作齒面。

　　切削刃上任一點(diǎn) M 的坐標(biāo)，即切削刃的矢量方程 r_c 為：

　　式中，r₀ 為刀尖頂點(diǎn)的矢量方程，s₁ 為切削刃上任一點(diǎn)M到刀尖頂點(diǎn)M0的距離，t₁ 為母線M0M方向上的單位矢量。

　　被加工齒面與刀盤的切削面是共軛曲面，根據(jù)產(chǎn)形輪與齒輪之間的相對運(yùn)動關(guān)系，引入高階滾比修正系數(shù)，此時：

　　工件的角速度為：

　　上式中，i₀ 為滾比，Δq 為搖臺角改變量，2c、6d、24e、120f、720g 分別為二階至六階的滾比修正系數(shù)。

　　由齒面嚙合方程可求得齒面上的點(diǎn)和 M 點(diǎn)共軛接觸時的 q、θ 以及工件轉(zhuǎn)角 ?。進(jìn)而可求得工件齒面上的點(diǎn)以 O₁為原點(diǎn)的徑矢 r_w 及其法矢 n_w：

　　二、齒面離散點(diǎn)參數(shù)的計算

　　計算理論齒面離散點(diǎn)空間坐標(biāo)及其法矢是進(jìn)行齒面誤差測量和齒面形狀分析的前提條件，同時也是實(shí)現(xiàn)弧齒錐齒輪數(shù)字化制造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。為了實(shí)現(xiàn)齒面的精密測量以及計算理論齒面與實(shí)際齒面之間的誤差，需要對齒面進(jìn)行離散化處理，即在弧齒錐齒輪理論齒面的旋轉(zhuǎn)投影面上規(guī)劃一定的測量網(wǎng)格。

　　為了反映齒面的形狀特征，一般在齒高方向取 5 行，在齒長方向取 9 列，共 計 45 個離散點(diǎn)，如圖 2 所示。根據(jù)美國齒輪標(biāo)準(zhǔn)，在齒寬方向，大端和小端各收縮齒面寬的 10%，在齒廓方向，齒頂和齒根各收縮全齒高的 5% 且不能小于 0.6 mm。收縮后的齒面各邊界應(yīng)與收縮前的齒面各邊界平行，并根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)量將齒面各邊界等距均分。在圖 2 所示的坐標(biāo)系下，可以計算出各離散點(diǎn)在以交叉點(diǎn) O1 為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值(x(i，j)，y(i，j))，其中 i = 1～9，j = 1～5。

　　如圖 2 所示，設(shè)齒面上的 M 點(diǎn)沿齒輪軸線 p 到 O₁ 的距離為 x，到齒輪軸線 p 的距離為 y，則有：

　　式中的 x、y 是 q 和 θ 的函數(shù)，給定了 q 和 θ 的值，再根據(jù)式(4)和式(5)就能求得 x、y 的值。如果給定了齒面上離散點(diǎn)的坐標(biāo)值，就可以利用二元迭代的方法求解其對應(yīng)的 q 和 θ，隨后再利用式(2)、式 (3) 進(jìn)而求得理論齒面上對應(yīng)每一個離散點(diǎn)的徑矢 r_w 和法矢 n_w，此后再經(jīng)過一次坐標(biāo)變化，即可將其轉(zhuǎn)換到測量坐標(biāo)系中。利用三坐標(biāo)測量機(jī)或者齒輪測量中心就可以根據(jù)齒面離散點(diǎn)的空間坐標(biāo)和法矢進(jìn)行實(shí)際齒面齒形誤差的測量。

　　三、齒形改變量的計算

　　根據(jù)齒輪切齒加工的刀具參數(shù)和機(jī)床調(diào)整參數(shù)，運(yùn)用上文所建立的齒面數(shù)學(xué)模型，可以得到理論齒面上各個離散點(diǎn)所對應(yīng)的徑矢 r_w 和法矢 n_w 。此外，設(shè)定一組包含誤差的刀具參數(shù)和機(jī)床調(diào)整參數(shù)，即可求得誤差齒面上的各個離散點(diǎn)對應(yīng)的徑矢 r_w ′ 和法矢 n_w ′。將理論加工參數(shù)對應(yīng)的齒面定義為理論齒面，將改變后的加工參數(shù)對應(yīng)的齒面定義為實(shí)際齒面，如圖 3 所示。

　　改變機(jī)床調(diào)整參數(shù)后，實(shí)際齒面會偏離原始齒面，為了對比實(shí)際齒面相對于理論齒面的變化和分析齒面誤差，需將實(shí)際齒面旋轉(zhuǎn)，使齒面網(wǎng)格中點(diǎn) M′ 與理論齒面中點(diǎn) M 重合，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為 θ。旋轉(zhuǎn)后理論齒面上任意一點(diǎn)到實(shí)際齒面上對應(yīng)該點(diǎn)之間法線方向的偏差就是該點(diǎn)的誤差值。齒輪測量中心在測量弧齒錐齒輪時，以齒面的中點(diǎn)為參考點(diǎn)，以“S”形逐點(diǎn)移動進(jìn)行測量。再通過軟件的處理，就得到了齒面上各個網(wǎng)格點(diǎn)對應(yīng)的齒面誤差，以此就能繪制出齒面誤差拓?fù)鋱D。

　　以工廠實(shí)際生產(chǎn)的某弧齒錐齒輪小輪為例(采用雙重螺旋法加工)，分析各階滾比修正系數(shù)對齒面形狀的影響規(guī)律。齒輪副的參數(shù)如表 1 所示，加工輪齒的機(jī)床調(diào)整參數(shù)和刀具參數(shù)如表 2 所示。收縮量設(shè)置為：小端收縮量 1.5 mm，大端收縮量 2.5 mm，齒頂收縮量 1 mm，齒根收縮量 1.7 mm。

　　為了分析各高階滾比修正系數(shù)對齒面形狀的影響規(guī)律，假定二階至六階滾比修正系數(shù)的改變量依次為：+0.02、+0.2、+2、+20、+200。利用 VB 編制齒形分析軟件，對每個改變量進(jìn)行齒形誤差計算并繪制齒面誤差改變拓?fù)鋱D。

　　計算分析結(jié)果如圖 4 所示，圖中粗實(shí)線表示理論齒面，細(xì)實(shí)線表示理論齒面低于實(shí)際齒面，細(xì)虛線表示理論齒面高于實(shí)際齒面，在齒輪凹凸兩面的 4 個角點(diǎn)標(biāo)有實(shí)際齒面在該點(diǎn)處相對于理論齒面的齒形誤差值，誤差值單位為 μm。

　　四、滾比修正系數(shù)對齒面形狀的影響規(guī)律

　　在實(shí)際加工弧齒錐齒輪時，工作人員通過齒輪測量中心測量齒面誤差或者進(jìn)行滾檢觀察齒面接觸區(qū)，再通過改變機(jī)床調(diào)整參數(shù)對輪齒的齒面幾何形狀，齒輪副接觸區(qū)的大小、位置和方向進(jìn)行調(diào)整。不同的機(jī)床調(diào)整參數(shù)對齒面形狀的影響程度不同，根據(jù)齒面的形狀，將誤差齒面表示為二階曲面的形式，將齒面誤差對各階滾比修正系數(shù)的變化趨勢分解為 5 個誤差敏感系數(shù)。圖 5 為齒面誤差二階曲面，圖中原點(diǎn)與齒面網(wǎng)格中點(diǎn)重合，齒長方向?yàn)閄，齒高方向?yàn)?Y，Z 為齒面形狀誤差，用二階曲面近似的表達(dá)齒面形狀誤差拓?fù)鋱D，其表達(dá)式為：

　　式中，a₁ 為螺旋角誤差敏感系數(shù)，a₂ 為壓力角誤差敏感系數(shù)，a₃ 為齒面撓率誤差敏感系數(shù)，a₄ 為齒長曲率誤差敏感系數(shù);a₅ 為齒高曲率誤差敏感系數(shù)。一階系數(shù) a₁ 、a₂ 是對齒面傾斜角度的表達(dá)，二階系數(shù) a₃ 、a₄ 、a₅ 是對誤差齒面彎曲程度的表達(dá)。

　　將齒面網(wǎng)格上任意一點(diǎn)的齒面誤差用矩陣表示為：

　　式中，Z 為各個離散點(diǎn)的齒形誤差，矩陣 S 為誤差矩陣，其數(shù)值由離散點(diǎn)的坐標(biāo)確定，詳細(xì)推導(dǎo)過程參考文獻(xiàn)。每改變一項機(jī)床調(diào)整參數(shù)，與之對應(yīng)的齒面形狀誤差 Z 也會隨之發(fā)生改變，根據(jù)計算出的離散點(diǎn)坐標(biāo)，可求得每個機(jī)床調(diào)整參數(shù)對應(yīng)的誤差敏感系數(shù)。式(9)為超靜定方程組，利用最小二乘法可求得其最小二乘解，即：

　　以上述齒輪副為例，計算小輪在各高階滾比修正系數(shù)改變下齒面形狀誤差對應(yīng)的誤差敏感系數(shù)。計算結(jié)果如表 3、表 4 所示。

　　誤差敏感系數(shù)越大，則與之對應(yīng)的高階滾比修正系數(shù)改變量對齒面形狀的影響越大，結(jié)合圖 3 對表 3、表 4 的計算結(jié)果進(jìn)行分析可知：

　　1)高階滾比修正系數(shù)對齒形的影響主要作用在凹面小端的齒頂和凸面大端的齒頂，對齒面中部和齒根的影響較小。

　　2)輪齒凹面，在齒面傾斜角度方面，各階滾比修正系數(shù)對壓力角與螺旋角的影響程度大致相同;在齒面彎曲程度方面，一階滾比修正對齒面撓率的影響較大，對齒高方向曲率影響最小;二階滾比修正系數(shù)對齒長方向曲率影響最大，對齒面撓率影響最小;三階到六階滾比修正系數(shù)均對齒長方向曲率影響最大，對齒高方向曲率影響最小。

　　3)在輪齒凸面，在齒面傾斜角度方面，二階到四階滾比修正系數(shù)對壓力角的影響均略大于對螺旋角的影響，五階、六階滾比修正系數(shù)對壓力角的影響遠(yuǎn)大于對螺旋角的影響;在齒面彎曲程度方面，二階到六階滾比修正系數(shù)均對齒面撓率的影響最大，對齒長方向的曲率影響最小。

　　4)齒輪大端的凹凸兩面變化趨勢大致相同，而小端則是二階、四階、六階變化趨勢相同，凹面實(shí)際齒面低于理論齒面，凸面實(shí)際齒面高于理論齒面;三階、五階變化趨勢相同，凹面實(shí)際齒面高于理論齒面，凸面實(shí)際齒面低于理論齒面。

　　為了驗(yàn)證論文的正確性，在H350GH 數(shù)控螺旋錐齒輪磨齒機(jī)上，根據(jù)各階滾比修正系數(shù)的改變量進(jìn)行了磨削試驗(yàn)，如圖 6 所示。并利用齒輪測量中心對齒形誤差進(jìn)行了檢測，如圖 7 所示。檢測得到的齒面誤差拓?fù)鋱D的齒面形狀變化趨勢、各點(diǎn)對應(yīng)的齒面誤差值和本文分析得到的結(jié)果基本一致，細(xì)微的差別是由于隨機(jī)誤差與測量誤差造成的。因篇幅所限，論文僅列出滾比修正二階系數(shù)改變+ 0.02 時的檢測結(jié)果，如圖 8 所示。

　　五、結(jié)束語

　　建立了引入高階滾比修正系數(shù)的弧齒錐齒輪齒面數(shù)學(xué)模型，開發(fā)了齒形誤差分析軟件，借助二階曲面對齒面誤差的近似表達(dá)，分析了高階滾比修正系數(shù)的改變對輪齒齒形的影響規(guī)律，為弧齒錐齒輪實(shí)際加工過程中機(jī)床功能的合理運(yùn)用、齒形調(diào)整、齒面接觸區(qū)的調(diào)整和齒形誤差的修正提供了理論依據(jù)。