以數(shù)控機(jī)床磨削內(nèi)斜齒輪為研究對(duì)象，研究在磨削過程中存在的加工誤差及補(bǔ)償問題。首先，通過齊次坐標(biāo)變換原理，推導(dǎo)出工件到刀具之間存在誤差的齊次坐標(biāo)變換矩陣，得出加工過程中的幾何誤差模型;其次，利用內(nèi)置信號(hào)同步采集方法，實(shí)現(xiàn)機(jī)床加工誤差在線監(jiān)測，并通過軟件補(bǔ)償原理對(duì)主要誤差源進(jìn)行補(bǔ)償;最后，通過齒輪檢測儀，對(duì)誤差補(bǔ)償前、后齒面進(jìn)行檢測，補(bǔ)償后的齒面誤差有所減小。該實(shí)驗(yàn)為提高機(jī)床加工精度的研究提供了數(shù)據(jù)理論支撐。

　　數(shù)控機(jī)床是汽車、航空航天和軍事領(lǐng)域中使用最廣泛的制造設(shè)備之一，在工業(yè)中起著重要作用，而機(jī)床誤差是影響加工精度最主要的原因，影響著行業(yè)的整體發(fā)展。因此，在保證機(jī)床加工效率的基礎(chǔ)上提高其加工精度是目前亟需解決的問題。

　　機(jī)床加工精度一直受國內(nèi)外學(xué)者們的關(guān)注，針對(duì)機(jī)床誤差模型，分別提出了多體系統(tǒng)理論、矢量法和齊次坐標(biāo)變換等建模方法。田鳳楨等利用多體系統(tǒng)理論，設(shè)計(jì)機(jī)床加工零件相應(yīng)運(yùn)動(dòng)鏈，并對(duì)其加工誤差進(jìn)行分析;付國強(qiáng)等根據(jù)指數(shù)積理論和坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)理論，建立了運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差貢獻(xiàn)值模型，提出了運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差靈敏度分析方法;楊斌利用內(nèi)置傳感器信息，結(jié)合數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，提出了一種利用內(nèi)置傳感器測量機(jī)床動(dòng)態(tài)加工誤差方法;史燕等采用優(yōu)化 PID 控制器中的關(guān)鍵參數(shù)，對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，驗(yàn)證所提方法具有良好的適應(yīng)性。若要提高機(jī)床加工精度就要控制其加工誤差，大多數(shù)會(huì)將誤差補(bǔ)償技術(shù)作為提高數(shù)控機(jī)床精度的主要途徑。

　　本文對(duì)磨削內(nèi)斜齒輪加工誤差展開研究，利用多體系統(tǒng)和齊次坐標(biāo)變換原理，建立機(jī)床刀具相對(duì)于工件的幾何誤差模型，通過加工過程在線監(jiān)測，進(jìn)行數(shù)據(jù)采集和分析，對(duì)其進(jìn)行反向誤差補(bǔ)償。這對(duì)提高機(jī)床加工精度具有重要作用，對(duì)生產(chǎn)精密零件企業(yè)的發(fā)展具有重要意義。

　　一、多體系統(tǒng)的機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

　　本文采用多體系統(tǒng)原理，以數(shù)控機(jī)床磨削內(nèi)斜齒輪為例建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，該數(shù)控成型砂輪磨齒機(jī)擁有 X、Y、Z、A、C 五個(gè)聯(lián)動(dòng)軸。其中，X、Z、C 軸是機(jī)床磨削系統(tǒng)的主要運(yùn)動(dòng)軸，X 軸和 Z 軸與機(jī)床床身固定，C 軸是工件分度數(shù)控回轉(zhuǎn)臺(tái)，安裝在 X 軸上;Y 軸和 A 軸輔助運(yùn)動(dòng)，A 軸用來控制砂輪的旋轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)內(nèi)斜齒輪的加工，安裝在 Z 軸的工作臺(tái)上。機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸示意圖如圖 1 所示。

　　多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和低序體陣列

　　根據(jù)對(duì)內(nèi)斜齒輪磨削系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，把機(jī)床系統(tǒng)分為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈，從機(jī)床機(jī)身開始到工件端結(jié)束的是工件運(yùn)動(dòng)鏈，從機(jī)床機(jī)身開始到刀具結(jié)束的是刀具運(yùn)動(dòng)鏈。兩者確定各運(yùn)動(dòng)部件的相鄰低序體關(guān)系，通過運(yùn)動(dòng)關(guān)系對(duì)個(gè)運(yùn)動(dòng)軸進(jìn)行編號(hào)，數(shù)控磨齒機(jī)機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖 2 所示。

　　假設(shè) S 是 K 的相鄰低序體，用公式可以表達(dá)出相鄰運(yùn)動(dòng)體的關(guān)系：

　　L(K) = S? ? ? (1)

　　低序體算子用 L 表示，則有：

　　低序體算子的定義為

　　通過上述公式可得出多體系統(tǒng)的低序體陣列，見表 1 。

　　加工誤差幾何模型

　　內(nèi)斜齒輪磨削系統(tǒng)在圖 2 所示工件到刀具運(yùn)動(dòng)鏈排序?yàn)椋簭墓ぜB接 C 軸連接 X 軸至機(jī)身，再從機(jī)身連接 Z 軸連接 A 軸至刀具結(jié)束。因此內(nèi)斜齒輪磨削系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)鏈中的各個(gè)運(yùn)動(dòng)體坐標(biāo)系之間的理想狀態(tài)坐標(biāo)變換關(guān)系矩陣如下：T_gC、T_CX、T_XJ、T_JZ、T_ZA、T_AW。

　　由表 2 的坐標(biāo)變換矩陣，可以得到磨削內(nèi)斜齒輪多體系統(tǒng)在理想狀態(tài)下刀具到工件之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣 T_gW，即：

　　由于機(jī)床在加工內(nèi)斜齒輪磨削時(shí)各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸會(huì)出現(xiàn)幾何誤差，因此還應(yīng)求出存在誤差時(shí)刀具與內(nèi)斜齒之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣。在存在誤差的情況下，其變換矩陣為

　　構(gòu)建機(jī)床內(nèi)斜齒輪磨削系統(tǒng)中刀具到工件坐標(biāo)系之間的誤差矩陣為 E_gW，誤差情況下兩坐標(biāo)系之間的變換矩陣就等于誤差矩陣 E_gW 與理想狀態(tài)下兩坐標(biāo)系之間變換矩陣 T_gW 的乘積，即：

　　所以

　　通過最小誤差假設(shè)，將 E_gW 表達(dá)為

　　式中：δ_x、δ_y、δ_z 分別為幾何誤差在 X、Y、Z 軸方向上的位移分量，ε_x、ε_y、ε_z 分別為幾何誤差在 X、Y、Z 軸方向上的轉(zhuǎn)角分量。

　　齒面誤差模型

　　在進(jìn)行磨削加工過程中，忽略掉砂輪的修整誤差，用 η 來表示砂輪軸向廓形參數(shù)，則修正之后砂輪的軸向廓形坐標(biāo)矢量為

　　砂輪的回轉(zhuǎn)曲面是由其軸向廓形繞軸線做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡面。砂輪回轉(zhuǎn)參數(shù)用φ表示，則在砂輪的坐標(biāo)系當(dāng)中，其坐標(biāo)矢量為

　　則砂輪單位法矢為

　　由于砂輪曲面特征可以用單位法矢和坐標(biāo)矢量聯(lián)合表示，因此，在齒輪坐標(biāo)系中理想的砂輪曲面可表示為

　　在實(shí)際加工中，各軸的幾何誤差用向量 G = [x₁, x₂,··· , x_m] T表示，故實(shí)際的砂輪曲面為

　　砂輪與齒輪磨削接觸點(diǎn)的條件是：從齒輪坐標(biāo)系的原點(diǎn)向砂輪回轉(zhuǎn)面上做一點(diǎn)徑矢r^g，若這一點(diǎn)在回轉(zhuǎn)面上的法線n^g與這一點(diǎn)繞齒輪軸線 k^g的線速度矢量垂直，說明這個(gè)點(diǎn)是磨削接觸點(diǎn)。因此，理想的接觸條件與實(shí)際的接觸條件分別是：

　　式中：β 是砂輪安裝角，常數(shù);x是砂輪到齒輪的中心距，常數(shù);α 是螺旋加工參數(shù)，只有在幾何誤差存在時(shí)，才會(huì)影響到接觸線形狀，而幾何誤差向量 G 只與各運(yùn)動(dòng)軸的位置有關(guān)。當(dāng) α 為常數(shù) α_k時(shí)，f =0 作為接觸條件就只成為與砂輪的軸向廓形η 和回轉(zhuǎn)廓形參數(shù)φ 有關(guān)。由于其軸向廓形η范圍已知，將η等分成 n 個(gè)離散數(shù)值，令 η = η(j = 1,2,3,··· ,n)，根據(jù) f =0 求出對(duì)應(yīng)的，然后將(η,φ_j) 代入r ^g ，即可求得接觸點(diǎn)單位法式n^g_{k j}(η,φ_j) 和坐標(biāo)矢量r ^g_{k j}(η,φ_j) 。由于η與 f =0 聯(lián)合求出φ，因此η的函數(shù)可用φ來表示， 則由 n 個(gè)接觸點(diǎn)擬合成的第 k 條接觸線也可表示為

　　而齒面可以看成是由 λ 條離散的接觸線組成，因此理想和實(shí)際齒面分別表示為

　　故可建立各軸幾何誤差與齒面誤差的關(guān)系，模型為

　　二、加工誤差在線監(jiān)測及補(bǔ)償

　　由于數(shù)控機(jī)床在磨削過程中，會(huì)出現(xiàn)不同方向的幾何誤差，機(jī)床精度達(dá)不到技術(shù)規(guī)定要求，為了提高機(jī)床加工精度，對(duì)其加工過程進(jìn)行在線監(jiān)測。在機(jī)床加工過程中，反饋元件用于在線信息傳遞，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測和控制。

　　在線監(jiān)測

　　監(jiān)測目的是通過內(nèi)置傳感器，完成對(duì)信號(hào)數(shù)據(jù)的采集，結(jié)合數(shù)據(jù)處理技術(shù)和特征提取方法，將其轉(zhuǎn)化為可處理信號(hào)。在采集過程中，信號(hào)數(shù)據(jù)需進(jìn)行采樣、編碼和傳輸以便將其輸入到計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，信息分析、處理、存儲(chǔ)和顯示是通過計(jì)算機(jī)系統(tǒng)完成的，這些操作可為實(shí)時(shí)監(jiān)控提供關(guān)鍵的數(shù)據(jù)。在線監(jiān)測系統(tǒng)如圖 3 所示。

　　對(duì)內(nèi)斜齒輪進(jìn)行磨削如圖 4 所示，工件參數(shù)見表 3。加工過程中，C 軸旋轉(zhuǎn)是為了使加工齒輪齒槽處于既定的位置，A 軸轉(zhuǎn)動(dòng)確定的是加工內(nèi)斜齒的螺旋角，Z 軸方向移動(dòng)是為了實(shí)現(xiàn)齒寬方向磨削的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，在磨削齒槽過程當(dāng)中，X、Y、A、C 軸一直保持鎖止的狀態(tài)。

　　測試過程中，分別對(duì)各軸動(dòng)態(tài)位置信號(hào)進(jìn)行采集，如圖 5a 所示。由于受切削刀具與工件相互作用的影響，檢測出 X、Z、C 軸的位置信號(hào)出現(xiàn)了明顯的變化，如圖 5b 所示，X 軸的跟蹤誤差范圍約為± 0.01 mm，波動(dòng)幅值微小;Z 軸與 X 軸相比，波動(dòng)幅值變化較大，跟蹤誤差范圍約為 ± 0.17 mm;C 軸位置在磨削的過程中和 Z 軸的波動(dòng)趨勢相似，C 軸幅值變化的范圍為 ± 0.033°。

　　誤差補(bǔ)償

　　數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償分為硬件補(bǔ)償和軟件補(bǔ)償。硬件補(bǔ)償采用機(jī)械式補(bǔ)償來提高其加工精度，該方法成本高、通用性差、設(shè)計(jì)的周期時(shí)間長，并且難以用數(shù)控方法進(jìn)行反饋控制，因此硬件補(bǔ)償在機(jī)床的應(yīng)用中較少;軟件補(bǔ)償是通過對(duì)機(jī)床各項(xiàng)誤差源研究，配合計(jì)算機(jī)軟件與數(shù)控系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行反向誤差補(bǔ)償，來提高機(jī)床的加工精度及性能的。軟件補(bǔ)償基本原理如圖 6 所示，在實(shí)驗(yàn)中選用列表法對(duì)機(jī)床進(jìn)行誤差補(bǔ)償，不需要改變工件三維模型和機(jī)床加工程序，只需要在西門子系統(tǒng)中把測量好的誤差補(bǔ)償值輸入到其誤差補(bǔ)償表里，就能實(shí)現(xiàn)誤差修正。

　　基于磨削內(nèi)斜齒加工誤差在線監(jiān)測，對(duì)機(jī)床參與運(yùn)動(dòng)的軸誤差特性進(jìn)行測試分析，發(fā)現(xiàn) Z、C 軸的誤差較大。根據(jù)誤差曲線形狀，利用動(dòng)態(tài)操作功能將反向加權(quán)補(bǔ)償計(jì)算值實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)綑C(jī)床軸運(yùn)動(dòng)中，對(duì)其誤差值進(jìn)行補(bǔ)償。

　　三、齒面誤差檢測

　　為驗(yàn)證補(bǔ)償后的齒輪精度有所提高，對(duì)補(bǔ)償前后的齒輪進(jìn)行檢測，采用的檢測設(shè)備是格里森 650GMS，實(shí)際測量平臺(tái)如圖 7 所示。

　　內(nèi)斜齒輪的誤差是按照?qǐng)A柱齒輪誤差檢測標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)定的，用實(shí)際數(shù)據(jù)來表示機(jī)床幾何誤差對(duì)齒面的影響，分別是內(nèi)斜齒輪的齒距累積總偏差 F_P、單個(gè)齒距偏差 f_P 和齒廓總偏差 F_α 等精度標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)加工內(nèi)斜齒輪補(bǔ)償前與補(bǔ)償后進(jìn)行檢測，檢測報(bào)告如圖 8 和圖 9 所示.

　　由表 4 可以看出，誤差補(bǔ)償之后內(nèi)斜齒的加工誤差明顯減少，說明補(bǔ)償后機(jī)床的加工精度有了顯著提高。

　　四、結(jié)語

　　(1)通過齊次坐標(biāo)變換原理，對(duì)工件-床身-刀具進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，建立運(yùn)動(dòng)鏈幾何誤差模型。

　　(2)通過內(nèi)置傳感器，監(jiān)測機(jī)床在磨削內(nèi)斜齒輪時(shí)各軸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)機(jī)床的 X 軸誤差幅值波動(dòng)較小，Z、C 軸誤差幅值波動(dòng)較為明顯，因此，對(duì)機(jī)床的 Z、C 軸進(jìn)行反向誤差補(bǔ)償。

　　(3)通過齒輪檢測分析儀對(duì)補(bǔ)償前后的齒輪進(jìn)行檢測，經(jīng)過對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)補(bǔ)償后的各齒面誤差均有顯著減少。

　　綜上所述，數(shù)控機(jī)床在實(shí)際加工中各軸均存在幾何誤差，通過機(jī)床的在線監(jiān)測系統(tǒng)和軟件補(bǔ)償，可以提高工件的加工精度和表面質(zhì)量，對(duì)機(jī)床加工精度提高具有重要意義。

　　參考文獻(xiàn)略.